找 尋 生 產 質 數 的 函 數 : x2 + x + 41 (I)

質 數 有 無 限 多 個，這 經 已 是 眾 所 周 知 的 事 實。

長 久 以 來，人 們 只 希 望 找 出 質 數 出 現 的 規 率，可 是

到 現 在 為 止 仍 找 不 出 一 個 理 想 的 答 案。他 們 退 一

步 希 望 找 到 一 個 公 式，他 們 並 不 奢 望 這 公 式 能 找

出 所 有 質 數，只 希 望 這 公 式 產 生 的 數 都 是 質 數 吧!

大 數 學 家 歐 拉 (Euler) 也 曾 提 出 函 數 f(x) = x2+x+41，

對 於 x = 0,1, 2, ..., 39，f(x) 都 是 質 數 (見 右 表)，

可 是 f(40) 不 是 一 個 質 數；這 皆 因
    f(40) = 402+ 40 + 41 = 40*41 + 41=41 * 41。
故 事 到 此 尚 未 完 結，請 再 看 下 表，你 可 發 現 到 甚 麼 ?
從 上 表 中 可 以 觀 察 到
    1. f(x) 為 質 數 ; 或

    2. f(x) 的 其 中 一 個 質 因 子 為 前 面 列 出 的 其 中 一 個 的 質 數。
更 且，歐 拉 找 到 的 這 一 個 函 數 f(x) = x2+x+41 是 一 個 有 非 常 高 效 率 的 質 數 生 產 機。

以 下 為 形 如 f(x) = x2+x+c 的 函 數 在 首 2000 個 數 字 中 (x = 0，...，1999) 找 到 的 質 數 數 目：
      C1357 91113151719212325 2729313335373941
      質 數 數 目345165309352144508219 128651292150341321170391 3761062674271611021
      C4345474951 535557596163656769 71737577798183
      質 數 數 目208130521230182354243 154586357113269594211422 26497438288243440
從 上 表 可 看 到 f(x) = x2+x+41 產 生 的 質 數 數 目 遠 比 其 他 類 似 的 函 數 多。

若 再 觀 察 f(0), f(1),...,f(9999) 的 10000 個 數 字 中， f(x) = x2+x+41 能 產 生 4149 個 質 數，

而 f(x) = x2+x+17 則 減 至 2627 個，f(x) = x2+x+67 則 減 至 2355 個。

有 興 趣 找 尋 這 些 質 數 的 讀 者 可 依 說 明 用 Excel 試 算 表 再 繼 續 探 索。