從 Ptolemy 定 理 到 sin(A-B) 的 展 開 公 式
Ptolemy 定 理 引 理: 公 式 證 明
在 直 徑 為 一 單 位 長 的 圓 上，對 應 於 圓 周 角 為 a 的 弦 弦 長 為 sina

Ptolemy 定 理 證 明
如 圖，

若 A，B，C，D 四 點 共 圓 .

則 AB．CD + BC．AD = AC．BD

引 理
在 直 徑 為 一 單 位 長 的 圓 上，對 應 於 圓 周 角 為 a 的 弦 弦 長 為 sina

如 圖，ÐDAC = ÐDBC = a， ÐADC 為 直角，且 AC = 1，
所 以，CD = AC . sina = sina

公 式 證 明
  1. 如 圖，AB 為 圓 的 直 徑，且 AB =1，
    ÐABC = a，ÐABD = b．

  2. 所 以，ÐDBC = a-b， ÐCAB = (90-a)， ÐDAB = 90-b，

  3. 由 引 理，AC = sina ，BD = sin(90 -b) = cosb
    AD = sinb，BC = sin(90 -a) = cosa
    CD = sin(a-b)．

  4. 由 Ptolemy 定 理，AC.BD = AD.BC + AB.CD
    因 此， sina ．cosb = sinb．cosa + 1．sin(a-b)

    由 此，sin(a-b) = sina cosb - sinbcosa