命 題 XI.21: 構 成 一 個 立 體 角 的 所 有 平 面 角 的 和 小 於 360°

需要已有知識 : 命題 XI.20 : 如果由 3 個平面角構成一個立體角，則任何 2 個平面角的和大於第 3 個
設由平面角 BAC, CAD, DAB 在點 A 構成一個立體角。

由命題 XI.20，在點 B 有 ÐCBA + ÐABD > ÐCBD
在點 C 有 ÐBCA + ÐACD > ÐBCD
在點 D 有 ÐCDA + ÐADB > ÐCDB
 因為 ÐCBD + ÐBCD + ÐCDB = 180°，

ÐCBA + ÐABD + ÐBCA + ÐACD + ÐCDA + ÐADB > 180°

由DABC， 有 ÐCAB + ÐABC + ÐACB = 180°
由DABD， 有 ÐDAB + ÐABD + ÐADB = 180°
由DADC， 有 ÐCAD + ÐADC + ÐACD = 180°


所以，540° - (ÐCAB + ÐCAD + ÐDAB )
= ÐCBA + ÐABD + ÐBCA + ÐACD + ÐCDA + ÐADB >180°

所以，360° > (ÐCAB + ÐCAD + ÐDAB)

(若一個立體角由多於 3 個平面角構成，亦可以相同方法證得。)