海 島 有 多 高
問 題 問 題 出 處 題 解 另解 參 考 資 料 : 1.世界數學家思想方法(139頁)
2.九章算術及其劉徽注研究(399頁)
3.中國數學史大系(卷三239頁)


問 題

圖中紅 色的兩枝為等高的標杆，若 AB = 10 m，BC = 7 m，CD = 10.5 m，標 杆 的 高 度 為 2 m，ABCD 成一直線，海島有多高？

你 可 以 只 用 加 ，減， 乘， 除 求 得 答 案 嗎 ?


問 題 出 處

本題是 "海島算經" (公元 263 年) 中的第一 題
    今有望海島，立兩表 (於 A，B) 齊高三丈 (k)，前後相去千步 (AB)，令後表與前表三相直 (海島，A，B 成一直線)．從前表卻行一百二十三步 (AC)，人目著地取望島峰，與表末三合 (島峰，表末，C 成一直線)．從後表卻行一百二十七步 (BD)，人目著地取望島峰，亦與表末三合．問島高 (h) 及去表各幾何？
答 案 :
    以表高(k)乘間(AB)，為實(被除數)；相多(BD - AC) 為法 (除數)， 除之，所得加表高，即得島高，求前表去島遠近者,以前表卻行乘表間，為實；相多為法；除之,得島去表數．

    島 高 =

    島 遠 =


題 解 :
要 解 這 一 道 題 目 不 難，我 們 可 以 用 三 角 或 相 似 三 角 形 的 方 法 來 解．以 下 的 方 法，相 信 我 國 二 千 多 年 前 的 數 學 家 早 已 得 知 ，解 法 簡 單，運 用 劉 徽 的 出 入相 補 原 理 得 出 長 方 形 對 角 線 兩 側 餘 形 面 積 相 等 (見圖) 的 道 理 來 計 算 的．

A 的面積 =B 的面積
面 積 II = 面 積 V (ak = by)

面 積 I + II = 面 積 IV + V + VI

面 積 I = 面 積 III+ IV + V (kd = yAC)

所 以，面 積 VI + IV= 面 積 III + IV + V
1.










m + n = a + b + m = AC

b = BD - (m + n) = BD - AC

因 ak = by，所 以 y =

島 高

2.










因 kd = yAC ，

所 以 d =



另 解(一) : -------------------由讀者 Kitty 提供

網 友 Kitty 小姐提供的解直接了當。感激!
    設兩柱之頂為 Ｘ 及 Ｙ，則 DEXY 與 DECD 相似。

    因 此 AB / CD = (h - k) / h，

    化簡得 h = k(CD) / (CD - AB)
註： 用相似三角形的方法來解是非常直接的，但須要用到相似三角形的一些性質，而證明這些性質便沒有只使用出入相補原理的方法來得簡單了。