勾股容圓是《九章算術》中,由一個勾股形已知的勾、股,求其內切圓直徑的問題。 |
〔一六〕 | 今有句八步,股十五步。問句中容圓,徑幾何? 荅曰:六步。 術曰:八步為句,十五步為股,為之求弦。三位并之為法,以句乘股,倍之為實。實如法得徑一步。 |
問題 | 直角三角形勾長為8步,股長為15步,求其內切圓的直徑。 |
術 : | 八步為句,十五步為股,為之求弦。 | BC = 8,AC = 15, ∴ AB = 17, |
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三位并之, | BC + AC + AB = 8 + 15 + 17 = 40, | ||
以句乘股, | BC x AC = 8 x 15 = 120, | ||
倍之, | 120 x 2 = 240, | ||
實如法得徑。 | 240 ÷ 40 = 6。 |
證明 : | 如圖,劉徽用出入相補原理和衰分術,證明了這個結果。 | ||
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示例 | 直角三角形勾長為5,股長為12,求其內切圓的直徑。 |
5 為句,12 為股,為之求弦。 | BC = 5,AC = 12, ∴ AB = 13, |
三位并之, | BC + AC + AB = 5 + 12 + 13 = 30, | ||
以句乘股, | BC x AC = 5 x 12 = 60, | ||
倍之, | 60 x 2 = 120, | ||
實如法得徑。 | 120 ÷ 30 = 4。 |
今釋 | 直角三角形勾股長為a、b,求其內切圓的直徑d。 由句股,得弦長c。則 |